Was ist ein Kalman-Filter?

Das Kalman-Filter ist ein nach seinem Entdecker benannter Satz mathematischer Gleichungen. Mittels dieses Filters sind bei Vorliegen fehlerbehafteter Beobachtungen Rückschlüsse auf den Zustand vieler der Technik, Wissenschaft oder der Wirtschaft zugeordneter Systeme möglich.

Vereinfacht gesprochen dient das Kalman-Filter zur Abschätzung des Systemzustands durch die Kombination von mehreren fehlerbehafteten Messgrößen. Dabei müssen sowohl die mathematische Struktur des zugrundeliegenden dynamischen Systems, als auch die der Messverfälschungen bekannt sein.

Ein Anwendungsbeispiel

Das Kalman-Filter kann verwendet werden, um die Position eines Fahrzeugs zu bestimmen. Dafür steht zum einen ein fehlerbehaftetes GPS-Signal zur Verfügung, welches teilweise um die tatsächliche Position springt. Eine weitere Möglichkeit die Position zu bestimmen, ist die Integration des Fahrtverlaufs, also Geschwindigkeit und Lenkposition. Auf lange Sicht werden hier aber auch kleine Fehler zu einer falschen Position integriert.

Das Kalman-Filter führt hier beide Signale zusammen, sodass die Position durch das GPS nicht mehr springen kann, sich aber auf lange Sicht trotzdem nicht von der realen Position entfernt.

Eigenschaften

Die Schätzung des Mittelwertes hängt in linearer Weise von der Beobachtung ab, das Kalman-Filter ist demnach ein lineares Filter. Mit zunehmender Anzahl der Iterationen nähern sich die Schätzungen für Mittelwert und Varianz den tatsächlichen Werten beliebig genau an.

Es handelt sich daher um einen sogenannten erwartungstreuen und konsistenten Schätzer mit minimaler Varianz. Das Filter ist ein lineares optimales Filter, da die Schätzeigenschaften zu einer Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers führen.

Selbst verallgemeinerte nichtlineare Filter liefern häufig mit normalverteilten Variablen keine besseren Ergebnisse. Das Kalman-Filter erlaubt im Gegensatz zu anderen linearen Schätzern, die ebenso Fehlerquadrate minimieren, auch die Behandlung von Problemen mit korrelierten Rauschkomponenten, wie sie in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Einsatzgebiete

Eine Besonderheit des Kalman Filters bildet seine spezielle mathematische Struktur, die den Einsatz in Echtzeitsystemen verschiedener technischer Bereiche ermöglicht.

Dazu zählen u. a. die Auswertung von GPS- oder Radarsignalen zur Positionsverfolgung sich bewegender Objekte (Tracking) wie im Anwendungsbeispiel, aber auch der Einsatz in elektronischen Regelkreisen allgegenwärtiger Kommunikationssysteme wie etwa Radio und Computer.

Das Kalman-Filter kann dabei auch zur Reduzierung von Messrauschen eingesetzt werden.

Im Gegensatz zu den klassischen FIR- und IIR-Filtern, welche auf Signal- und Zeitreihenanalyse basiern,  basiert das Kalman-Filter auf einer Zustandsraummodellierung, bei der explizit zwischen der Dynamik des Systemzustands und dem Prozess seiner Messung unterschieden wird.

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