Kalman Filter

Das Kalman-Filter ist ein nach seinem Entdecker benannter Satz mathematischer Gleichungen. Mittels dieses Filters sind bei Vorliegen fehlerbehafteter Beobachtungen Rückschlüsse auf den Zustand vieler der Technik, Wissenschaft oder der Wirtschaft zugeordneter Systeme möglich.

 

Vereinfacht gesprochen dient das Kalman-Filter zum Entfernen der von den Messgeräten verursachten Störungen. Dabei müssen sowohl die mathematische Struktur des zugrundeliegenden dynamischen Systems als auch die der Messverfälschungen bekannt sein.

 

Im Rahmen der mathematischen Schätztheorie spricht man auch von einem bayesschen Minimum-Varianz-Schätzer für lineare stochastische Systeme in Zustandsraumdarstellung.

 

Eine Besonderheit des Kalman Filters bildet seine spezielle mathematische Struktur, die den Einsatz in Echtzeitsystemen verschiedener technischer Bereiche ermöglicht.

 

Dazu zählen u. a. die Auswertung von Radarsignalen zur Positionsverfolgung sich bewegender Objekte (Tracking) aber auch der Einsatz in elektronischen Regelkreisen allgegenwärtiger Kommunikationssysteme wie etwa Radio und Computer.

 

Im Gegensatz zu den klassischen FIR- und IIR-Filtern der Signal- und Zeitreihenanalyse basiert das Kalman-Filter auf einer Zustandsraummodellierung, bei der explizit zwischen der Dynamik des Systemzustands und dem Prozess seiner Messung unterschieden wird.

 

 

Eigenschaften

 

Wie aus der Korrekturgleichung ersichtlich ist, hängt die Schätzung des Mittelwertes in linearer Weise von der Beobachtung ab, das Kalman-Filter ist demnach ein lineares Filter. Mit zunehmender Länge der Messreihe nähern sich die Schätzungen für Mittelwert und Varianz den tatsächlichen Werten beliebig genau an.

 

Man spricht daher im statistischen Jargon von einem erwartungstreuen und konsistenten Schätzer mit minimaler Varianz. Aufgrund dieser Schätzeigenschaften, die hier einer Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers entsprechen, ist das Kalman-Filter ein optimales lineares Filter.

 

Selbst verallgemeinerte nichtlineare Filter liefern für das hier betrachtete lineare Zustandsraummodell mit normalverteilten Variablen keine besseren Ergebnisse. Im Gegensatz zu anderen (rekursiven) linearen Schätzern, die ebenso Fehlerquadrate minimieren, erlaubt das Kalman-Filter auch die Behandlung von Problemen mit korrelierten Rauschkomponenten, wie sie in der Praxis häufig anzutreffen sind.

 

 

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Quelle: Wikipedia